A closed graph theorem in dcpo’s

Today I will add one closed graph type theorem to the list made by Terence Tao in his post Closed graph theorem in various categories.

I first recall a few basic notions of domain theory. If X is a poset or partially ordered set, a subset D of X is directed if it is nonempty and for all d, d' \in D there is some d'' \in D such that d \leq d'' and d' \leq d''. The poset X is a dcpo (a directed-complete poset) if every directed subset has a supremum, written \bigvee D. A subset U of X is d-open if \bigvee D \in U \implies D \cap U \neq \emptyset for every directed subset D of X. The collection of d-open subsets forms a topology called the d-topology.

Then a map f : X \rightarrow Y is called d-continuous if it is continuous when X and Y are equipped with their respective d-topologies. It happens that a map f : X \rightarrow Y is order-preserving and d-continuous if and only if f(\bigvee D) = \bigvee f(D) for every directed subset D of X (which is a characterization of Scott continuity). For a proof of this latter assertion and for more on the d-topology of a poset I refer the reader to the paper D-completions and the d-topology by Klaus Keimel and Jimmie Lawson.

Theorem (Closed graph theorem (dcpo theory)). Let X, Y be dcpo’s. Then an order-preserving map f : X \rightarrow Y is d-continuous if and only if the graph \Sigma := \{ (x, f(x)) : x \in X \} is d-closed (in the poset X \times Y equipped with the product topology).

Before giving a proof to this theorem, it is important to recall that the d-topology on the poset X \times Y does not coincide in general with the product of the d-topologies on X and Y.

Proof. Suppose that \Sigma is d-closed, and let D be a directed subset of X. We define \Delta := \{ (d, f(d)) : d \in D \}, which is a subset of \Sigma, and a directed subset of the poset X \times Y since f is order-preserving. It is easily seen that \Delta has a supremum in X \times Y equal to (\bigvee D, \bigvee f(D)); since \Sigma is d-closed, this supremum is in \Sigma, hence f(\bigvee D) = \bigvee f(D). \Box

Question. Do we have a closed graph theorem in (continuous?) dcpo’s equipped with the Lawson topology?

Axiomatique des ensembles bornés

J’aime beaucoup les axiomatiques élégantes en mathématiques, comme peuvent l’être celles d’espace topologique, d’espace uniforme ou d’espace de convexité. Il est également possible d’axiomatiser la notion d’ensemble borné, c’est-à-dire d’abstraire les propriétés des ensembles bornés.

Sur un ensemble E, on appelle bornitude ou plus communément bornologie une famille \mathcal{B} de parties de E vérifiant les propriétés suivantes :

  • toute partie finie est dans \mathcal{B} ;
  • toute partie d’une partie qui est dans \mathcal{B} est dans \mathcal{B} ;
  • l’union de deux parties qui sont dans \mathcal{B} est dans \mathcal{B}.

S’il n’y a pas d’ambiguïté, les éléments de \mathcal{B} peuvent être appelés les parties bornées. Le couple (E, \mathcal{B}) est appelé espace bornologique.

Étant donné qu’une intersection quelconque de bornologies est une bornologie, on peut considérer la bornologie engendrée par une famille de parties.

Si f est une fonction de E dans E', et que E' est muni d’une bornologie \mathcal{B}', on peut munir E de la bornologie f^{-1}(\mathcal{B}') définie par

f^{-1}(\mathcal{B}') = \{ B \subset E : f(B) \in \mathcal{B}'\}.

Il semble intéressant de coupler la notion de bornologie avec celle d’espace topologique. On dit qu’une bornologie sur un espace topologique est elle-même topologique si la fermeture d’une partie bornée est bornée. Ainsi, l’ensemble des parties relativement compactes d’un espace topologique est une bornologie topologique, que l’on peut appeler la bornologie de Heine–Borel. Également, si f : E \rightarrow E' est continue, et que \mathcal{B}' est une bornologie topologique sur E', alors f^{-1}(\mathcal{B}') est une bornologie topologique sur E.

Si l’on dit qu’un espace topologique muni d’une bornologie \mathcal{B} est localement borné si pour tout ouvert G et tout x \in G il existe un ouvert borné B tel que x \in B \subset G, alors on a la première proposition suivante :

Proposition. Soit E un espace topologique, et \mathcal{B} une bornologie (pas nécessairement topologique) sur E. Si E est localement borné, alors toute partie (relativement) compacte de E est bornée.

Preuve. Soit K une partie compacte. Si x \in K, il existe une partie ouverte bornée B_x telle que x \in B_x car E est localement borné. Donc K est recouvert par la famille ouverte (B_x)_{x \in K}, et comme K est compact il existe une partie finie F de K telle que K \subset \bigcup_{x \in F} B_x. Ce dernier ensemble est borné en tant qu’union finie de parties bornées, donc K est borné.

A suivre…

Toute fonction continue n’est-elle pas mesurable ?

Une question m’intrigue en ce moment, à la suite d’un article récemment posté sur arXiv où j’utilise la tribu d’un Borel d’un espace non-séparé.

Il est habituel de définir la tribu de Borel \mathcal{B}(X) d’un espace topologique X comme la \sigma-algèbre engendrée par les ouverts. C’est d’ailleurs la définition fournie aujourd’hui par Wikipedia.
Quand X est séparé (Hausdorff), elle permet de faire des parties compactes des ensembles mesurables (puisqu’alors tout compact est fermé), ce qui est plutôt désirable.

Mais que se passe-t-il si X n’est pas séparé ?

Les espaces sobres, que l’on rencontre par exemple en géométrie algébrique ou en informatique théorique, sont des cas classiques d’espaces non-séparés. Définir leur tribu de Borel comme ci-dessus ne permet pas d’inclure les parties compactes (ou compactes saturées).

Il est alors d’usage de redéfinir la tribu de Borel \mathcal{B}(X) comme la \sigma-algèbre engendrée par les ouverts et les parties compactes saturées. Je rappelle qu’une partie est saturée si elle coïncide avec l’intersection des ouverts la contenant. Dans le cadre des espaces non-séparés, les compacts saturés ont de meilleures propriétés que les simples parties compactes, notamment en vertu du théorème de Hofmann–Mislove. Celui-ci nous apprend que, dans un espace sobre X, les filtres Scott-ouverts d’ouverts de X sont en correspondance bijective avec les compacts saturés de X.

Problème.
Avec cette nouvelle définition des boréliens, il n’est plus évident que toute fonction continue soit mesurable !

Aussi surprenant que cela paraisse, il n’y a pas trace d’une telle question dans la littérature.
Ce qui m’intéresse alors est non seulement de trouver un contre-exemple, mais aussi de mettre au jour une condition nécessaire et suffisante sur l’espace Y (respectivement sur l’espace X) pour que toute fonction continue de X dans Y soit mesurable pour tout X (respectivement pour tout Y).

J’ai posté la question sur ce forum sans grand succès. Mais cela m’a permis de réfléchir un peu plus à la question.

Notons déjà que f est mesurable si et seulement si f^{-1}(\uparrow y) est mesurable pour tout y \in Y, si l’on note \uparrow y l’intersection des ouverts de Y contenant y.
L’ensemble \uparrow y est compact saturé et un élément y' est dans \uparrow y si et seulement si y \leq y', où \leq est le préordre de spécialisation de l’espace topologique Y.

Ainsi, si Y est T_1, tout ensemble \uparrow y est réduit au singleton \{ y \}, et ce singleton est fermé, donc la fonction f est mesurable.

Egalement, si Y est à base dénombrable de voisinages (first-countable en anglais), alors tout \uparrow y peut s’écrire comme une intersection dénombrable d’ouverts, donc à nouveau f est mesurable.

Enfin si f est une application ouverte et bijective, alors l’image réciproque de \uparrow y est de la forme \uparrow x pour un x \in X, donc f est mesurable.

Peut-on trouver d’autres situations où les choses se passent bien ?