Axiomatique des ensembles bornés

J’aime beaucoup les axiomatiques élégantes en mathématiques, comme peuvent l’être celles d’espace topologique, d’espace uniforme ou d’espace de convexité. Il est également possible d’axiomatiser la notion d’ensemble borné, c’est-à-dire d’abstraire les propriétés des ensembles bornés.

Sur un ensemble E, on appelle bornitude ou plus communément bornologie une famille \mathcal{B} de parties de E vérifiant les propriétés suivantes :

  • toute partie finie est dans \mathcal{B} ;
  • toute partie d’une partie qui est dans \mathcal{B} est dans \mathcal{B} ;
  • l’union de deux parties qui sont dans \mathcal{B} est dans \mathcal{B}.

S’il n’y a pas d’ambiguïté, les éléments de \mathcal{B} peuvent être appelés les parties bornées. Le couple (E, \mathcal{B}) est appelé espace bornologique.

Étant donné qu’une intersection quelconque de bornologies est une bornologie, on peut considérer la bornologie engendrée par une famille de parties.

Si f est une fonction de E dans E', et que E' est muni d’une bornologie \mathcal{B}', on peut munir E de la bornologie f^{-1}(\mathcal{B}') définie par

f^{-1}(\mathcal{B}') = \{ B \subset E : f(B) \in \mathcal{B}'\}.

Il semble intéressant de coupler la notion de bornologie avec celle d’espace topologique. On dit qu’une bornologie sur un espace topologique est elle-même topologique si la fermeture d’une partie bornée est bornée. Ainsi, l’ensemble des parties relativement compactes d’un espace topologique est une bornologie topologique, que l’on peut appeler la bornologie de Heine–Borel. Également, si f : E \rightarrow E' est continue, et que \mathcal{B}' est une bornologie topologique sur E', alors f^{-1}(\mathcal{B}') est une bornologie topologique sur E.

Si l’on dit qu’un espace topologique muni d’une bornologie \mathcal{B} est localement borné si pour tout ouvert G et tout x \in G il existe un ouvert borné B tel que x \in B \subset G, alors on a la première proposition suivante :

Proposition. Soit E un espace topologique, et \mathcal{B} une bornologie (pas nécessairement topologique) sur E. Si E est localement borné, alors toute partie (relativement) compacte de E est bornée.

Preuve. Soit K une partie compacte. Si x \in K, il existe une partie ouverte bornée B_x telle que x \in B_x car E est localement borné. Donc K est recouvert par la famille ouverte (B_x)_{x \in K}, et comme K est compact il existe une partie finie F de K telle que K \subset \bigcup_{x \in F} B_x. Ce dernier ensemble est borné en tant qu’union finie de parties bornées, donc K est borné.

A suivre…

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